Площадь кругового сегмента равна разности площади соответствующего кругового сектора и площади треугольника, образованного радиусами соответствующего сегменту сектора и хордой, ограничивающей сегмент.
Пример 1
Длина хорды, стягивающей окружность равна величине а. Градусная мера дуги, соответствующей хорде, равна 60°. Найти площадь кругового сегмента.
Решение
Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, является равнобедренным, поэтому высота, проведенная из вершины центрального угла на сторону треугольника, образованную хордой, будет также являться биссектрисой центрального угла, поделив его пополам и медианой, поделив пополам хорду. Зная, что синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, можно вычислить величину радиуса:
Sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah, где h - высота, проведенная из вершины центрального угла к хорде. По теореме Пифагора h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
Соответственно, S▲=√3/4*a².
Площадь сегмента, вычисляемая как Sсег = Sc - S▲, равна:
Sсег = πa²/6 - √3/4*a²
Подставив числовое значение вместо величины a, можно с легкостью вычислить числовое значение площади сегмента.
Пример 2
Радиус окружности равен величине а. Градусная мера дуги, соответствующей сегменту, равна 60°. Найти площадь кругового сегмента.
Решение:
Площадь сектора, соответствующего заданному углу можно вычислить по следующей формуле:
Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,
Площадь соответствующего сектору треугольника вычисляется следующим образом:
S▲=1/2*ah, где h - высота, проведенная из вершины центрального угла к хорде. По теореме Пифагора h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
Соответственно, S▲=√3/4*a².
И, наконец, площадь сегмента, вычисляемая как Sсег = Sc - S▲, равна:
Sсег = πa²/6 - √3/4*a².
Решения в обоих случаях практически идентичны. Таким образом можно сделать вывод, что для вычисления площади сегмента в простейшем случае достаточно знать величину угла, соответствующего дуге сегмента и один из двух параметров - либо радиус окружности, либо длину хорды, стягивающей дугу окружности, образующую сегмент.
Математическая величина площади известна со времен древней Греции. Еще в те далекие времена греки выяснили, что площадью является сплошная часть поверхности, которая ограничена со всех сторон замкнутым контуром. Это числовая величина, которая измеряется в квадратных единицах. Площадь является численной характеристикой как плоских геометрических фигур (планиметрических), так и поверхностей тел в пространстве (объемных).
В настоящее время она встречается не только в рамках школьной программы на уроках геометрии и математики, но и в астрономии, быту, в строительстве, в конструкторских разработках, в производстве и во многих других человека. Очень часто к вычислению площадей сегментов мы прибегаем на приусадебном участке при оформлении ландшафтной зоны или при ремонтных работах ультрасовременного дизайна помещения. Поэтому знания методов вычисления площади различных пригодятся всегда и везде.
Для вычисления площади кругового сегмента и сегмента сферы необходимо разобраться с геометрическими терминами, которые понадобятся при вычислительном процессе.
Прежде всего, сегментом круга называется фрагмент плоской фигуры круга, который расположен между дугой окружности и отсекающей ее хордой. Не стоит это понятие путать с фигурой сектора. Это совершенно разные вещи.
Хордой называется отрезок, который соединяет две точки, лежащие на окружности.
Центральный угол образуется между двумя отрезками - радиусами. Он измеряется в градусах дугой, на которую упирается.
Сегмент сферы образуется при отсекании какой-либо плоскостью части шара (сферы). При этом основанием сферического сегмента получается круг, а высотой является перпендикуляр, исходящий от центра круга до пересечения с поверхностью сферы. Эта точка пересечения называется вершиной сегмента шара.
Для того, чтобы определить площадь сегмента сферы, нужно знать отсеченного круга и высоту шарового сегмента. Произведение этих двух составляющих и будет являться площадью сегмента сферы: S=2πRh, где h - высота сегмента, 2πR - длина окружности, а R - радиус большого круга.
Для того, чтобы вычислить площадь сегмента круга, можно прибегнуть к следующим формулам:
1. Чтобы найти площадь сегмента самым простым способом, необходимо вычислить разность между площадью сектора, в который вписан сегмент, и у которого основание является хордой сегмента: S1=S2-S3, где S1 - площадь сегмента, S2 - площадь сектора и S3 - площадь треугольника.
Можно воспользоваться приближенной формулой вычисления площади кругового сегмента: S=2/3*(a*h), где a - основание треугольника или h - высота сегмента, которая является результатом разности между радиусом круга и
2. Площадь сегмента, отличающегося от полукруга, подсчитывается следующим образом: S = (π R2:360)*α ± S3, где π R2 - площадь круга, α - градусная мера центрального угла, которая содержит дугу сегмента круга, S3 - площадь треугольника, который образовался между двумя радиусами круга и хордой, владеющего углом в центральной точке круга и двумя вершинами в местах соприкосновения радиусов с окружностью.
Если угол α < 180 градусов, используется знак минус, если α > 180 градусов, применяется знак плюс.
3. Вычислить площадь сегмента можно и другими методами при помощи тригонометрии. Как правило, за основу берется треугольник. Если центральный угол измеряется в градусах, тогда приемлема следующая формула: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, где R2 - квадрат радиуса круга, α - градусная мера центрального угла.
4. Чтобы рассчитать площадь сегмента с помощью тригонометрических функций, можно воспользоваться и другой формулой при условии, что центральный угол измеряется в радианах: S= R2 * (α - sin α)/2, где R2 - квадрат радиуса круга, α - градусная мера центрального угла.
Площадь сектора круга и площадь сегмента учить не нужно! Дорогие друзья! Вы, наверное, не раз просматривали справочник с математическими формулами, и, наверняка, возникала мысль: «Да разве возможно их все выучить?». Скажу вам, что возможно, но зачем? Зачем забивать голову массой формул, постоянно повторять их, ужасаться тому, что какую-то забыл и снова повторять? Не надо!
На самом деле достаточно запомнить треть всех формул, базовых формул или ещё меньше. Далее вы поймёте о чём идёт речь. Все остальные формулы можно быстро вывести, зная основу, применяя логику, и запомнив принципы, которым нужно следовать.
Приведу пример, существует 32 формулы приведения, учить их – это бессмысленное занятие. Как быстро вспомнить любую из них — изложено в статье « » , посмотрите.
В этой статье мы рассмотрим, как быстро восстановить в памяти формулы площади сектора круга, площади его сегмента, длину дуги окружности. Именно эти формулы понадобятся для решения ряда по планиметрии, которые разберем в следующей статье.
Итак, «базовые» формулы, их нужно выучить и знать!
Площади круга (формула):
Формула длины окружности:
Изобразим сектор, соответствующий определённому центральному углу n:
Рассуждаем логически: если площадь круга равна S= ПR 2 , то площадь соответствующая сектору в один градус будет равна 1/360 от площади круга (мы знаем, что вся окружность — это угол в 360 градусов), то есть
Далее понятно, что площадь сектора, соответствующая центральному углу в n градусов равна произведению одной тристашестидесятой площади круга и центрального угла n (соответствующего сектору), то есть
Вот вам и формула площади сектора.
Или можно выстроить рассуждение следующим образом:
Сектор в 1 градус — это 1/360 часть круга, соответственно сектор в n градусов — это n/360 часть круга. То есть площадь сектора будет равна произведению площади круга и этой части:
Всё просто. Необходимо из площади сектора вычесть площадь треугольника (он обозначен жёлтым цветом). Площадь треугольника, как мы знаем, равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними (эту формулу нужно знать, она не сложная). В данном случае это:
Значит,
Вот вам и площадь сегмента!
Площадь сегмента, где центральный угол больше 180 градусов находится просто:
Из площади круга вычитаем площадь полученного нами сегмента:
Угол 360 – n градусов это угол, который соответствует изображённому сектору (жёлтый цвет):
То есть, другими словами, к его площади мы прибавляем площадь треугольника и получаем площадь оговоренного сегмента.
Аналогичным образом определяем длину дуги окружности. Как уже сказано, длина окружности равна:
Значит, длина дуги окружности соответствующая одному градусу будет равна одной тристашестидесятой от 2πR, то есть
Получили длину дуги окружности. Конечно, данную информацию учителя дают ученикам, и ничего такого секретного вы не узнали. Но, уверен, статья принесёт вам пользу.
Повторюсь, что самое главное — знать формулы площади круга и длины окружности, а далее работает только логика.
Предлагаю посмотреть дополнительный урок Дмирия Тарасова на эту тему. Рассматриваются формулы длины дуги окружности и площади сектора, где центральный угол задан в радианной мере.
На этом всё. Успехов Вам!!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.